跳棋有关的趣味数学（五）——端午特别篇

天地_食神

<p><strong>题</strong><strong>１</strong><strong>：</strong>一颗跳棋子沿着一<strong>直线</strong>跳4次后返回原点，它每一次都是跳1格，那么它一共有多少跳法？</p>
<p><strong>题 </strong><strong>2</strong><strong>：</strong>一枚跳棋放在图1中七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是？<strong>（单选题）</strong><br><strong>A</strong>．C、E       </p>
<p><strong>B</strong>．E、F</p>
<p><strong>C</strong>．G、C、E</p>
<p><strong>D</strong>．E、C、F</p>
<p style="text-align: center;">图1</p>
<p style="text-align: left;"><strong>题 </strong><strong>3</strong><strong>：</strong>在跳棋有关的趣味数学（三）中特别提到了青蛙跳跳棋，其来源于“独立钻石棋”（又称孔明棋），这次就孔明棋出个颇有难度的题目：</p>
<p style="text-align: left;">图2-1是个孔明棋的棋盘，游戏时，是将棋子跳过邻近的棋子，到达一个旁边空着的位置，被跳过的棋子则从棋盘上取开；<strong>跳的路径可以前、后、左、右，但不可对角跳</strong>，直到剩下最后的一颗棋子，游戏便胜利了。</p>
<p style="text-align: left;">图2-2就是孔明棋的最知名的一种胜利方法，胜利后最后一颗子刚好留在中心位置。请问如果有其他胜利方法，则最后的一颗棋子可能会落在图2-1的哪些位置？<strong>（单选题）</strong></p>
<p>（a）A、B位置。</p>
<p>（b）A、C位置。</p>
<p>（c）A、B、C位置。</p>
<p>（d）A、B、D位置。</p>
<p style="text-align: left;"></p>
<p style="text-align: center;">图2-1</p>
<p style="text-align: center;"></p>
<p style="text-align: center;">图2-2</p>
<hr>
<p><strong>解析：</strong></p>
<p>（1）对于题１，一共有6种跳法。由于跳了4次后是返回原点的，故他的走法肯定包含了向前2次、向后2次，才能保证4次后是返回原点。问题转化为“4个盒子放2个“前”字（不分先后）有多少种方法”，学过高中排列组合的可知，跳法为C（4，2）=4×3/（2×1）=6种。</p>
<p>（2）对于题2，选D，即顶点E、C、F的位置不可能停留。本题解答可采用余数列举的方法，具体解答过程见<strong><a title="解答视频" href="https://www.ixigua.com/6954852376213717511">解答视频</a></strong></p>
<p>（3）对于题3，选A，即A、B位置。本题比较难，解答时也用到了高等数学抽象代数中的<a title="克莱因四元群" href="https://baike.baidu.com/item/%E5%85%8B%E8%8E%B1%E5%9B%A0%E5%9B%9B%E5%85%83%E7%BE%A4/15865294?fr=aladdin"><strong>克莱因四元群</strong></a>的知识，具体解答过程见<strong><a title="解题贴（知乎大神）" href="https://www.zhihu.com/question/340796389/answer/795337611?utm_source=wechat_session&utm_medium=social&utm_oi=948700227100692480&utm_content=group3_Answer&utm_campaign=shareopn">解题贴（知乎）</a></strong>。</p>
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<p></p>
<p style="text-align: center;">图3</p>